پایان نامه رشته ریاضی با عنوان نظریه میدان (هیئت)
مقدمه
از میان تمامی شاخه‌های جبر جدید، نظریه میدان مورد بی‌مهری بسیار واقع شده بیشتر كتاب‌های درسی كنونی درباره‌ی جبر، به نظریه گروهها و یا فضای بُرداری اختصاص دارند.حال آن كه نظریه میدان یك شاخه‌ی بسیار جذاب جبر است با بسیاری از كاربردهای جذاب، و حكم بنیادی این نظریه، یعنی قضیه اساسی نظریه گالوا، با هر معیاری حقیقتاً یكی از قضایای بزرگ ریاضی است.هدف آن است كه از تعاریف اساسی شروع و با احكام مهم این نظریه آشنا كرده و نیز جوهر مجرد و بعضی روش‌های جبری را معرفی نماییم.
فصل 1 توسیعهای میدان‌ها و روش‌های مختلف طبقه‌بندی آنها را شرح می‌دهد. در فصل 2 نظری اجمالی داریم به نظریه توسیعهای نرمال تفكیك پذیر از درجه‌ی متنابهی در این فصل روشی كه به كار می‌بریم خیلی شبیه به روش آرتین است.
در فصل 3 مباحثی پیرامون میدان‌های تجزیه و در فصل 4 میدان‌های متنابهی به اختصار شرح داده شده است فصل 5 كاربردهای بسیار متنوع این نظریه، از جمله طبقه‌بندی تمام میدان‌های با تعداد متنابهی عضو و عدم امكان حل چندجمله‌ایها با درجه بیش از 4 به وسیله رادیكال‌ها را ارائه می‌دهد.در ریاضیات و جبر مجرد، میدان به معنای ساختاری جبری است كه در آن چهار عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به جز تقسیم بر صفر) تعریف شده باشد و هر دو عمل خاصیت جابجایی داشته باشد. به بیان دیگر، میدان یك حلقه جابجایی است كه اعضای غیرصفر آن تشكیل گروه بدهند. اگر شرط جابجایی را برداریم، به جای میدان، حلقه بخشی (حلقه تقسیم) خواهیم داشت. برای مثال هر یك از مجموعه‌های اعداد گویا، اعداد حقیقی و اعداد مختلط خواص میدان را دارند، اما مجموعه‌ی اعداد طبیعی چنین شرایطی ندارند زیرا اگر n عددی طبیعی باشد. –n عضو مجموعه‌ی اعداد طبیعی نیست.
کلمات کلیدی:
نظریه میدان
توسیع میدان‌ها
میدان‌های تجزیه
میدان‌های متناهی
فهرست مطالب
مقدمه
1
فصل اول- توسیع میدان‌ها
1- خواص مقدماتی 4
2- توسیعهای ساده 11
3- توسیعهای جبری 19
4- تجزیه چندجمله‌ایها 22
5- میدان‌های شكافنده 32
فصل دوم- نظریه گالوا
6- خودریختی‌های میدان 42
7-توسیعهای نرمال 52
8-قضیه اساسی نظریه گالوا 56
فصل سوم- میدان‌های تجزیه
9- میدان‌های تجزیه 64
10- توسیع یكریختی 69
11- چند مثال 75
فصل چهارم- میدان‌های متناهی
12- توصیفی از میدان‌های متناهی 80
13- مقداری از نظریه گروههای آبلی 83
14- گره مضربی یك میدان متناهی 86
فصل پنجم- كاربردها
15- میدان‌های متنابهی 89
16- توسیعهای دایره بُر 95
17- توسیعهای دایر بُر میدان اعداد گویا101
18- توسیعهای دوری 108
واژه‌نامه 117
منابع و مأخذ 119
